Un exposant de densite en approximation rationnelle

Abstract

Soit ξ un nombre irrationnel. Si l'on connaît une suite d'approximations diophantiennes u_nξ−v_n→0, avec u_n, v_n entiers, on peut en général en déduire une majoration de son exposant d'irrationalité μ(ξ), c'est-à-dire une mesure de l'écart entre ξ et les rationnels; la meilleure suite possible pour cela est celle des réduites de ξ. Nous introduisons dans cet article une nouvelle façon de mesurer l'irrationalité de ξ au moyen d'un nombre ν(ξ), l'exposant de densité de ξ, qui tient compte non seulement de la petitesse des approximations u_nξ−v_n mais aussi de la régularité de la suite (u_n)_n. En particulier ν(ξ)<+∞ implique que μ(ξ)<+∞. Entre autres choses, nous montrons que ν(ξ)=0 presque sûrement, que ν(ξ)=0 pour tout ξ quadratique et que ν(ξ)<+∞ pour tout ξ algébrique réel ayant au moins un autre conjugué réel. Nous majorons également explicitement l'exposant de densité de périodes telles que log(2), π et ζ(3). Le texte contient un certain nombre de questions ouvertes, par exemple que vaut ν(e)? Let ξ be an irrational number. A sequence of diophantine approximations u_nξ−v_n→0, with u_n, v_n integers, generally yields an upper bound for the irrationality exponent μ(ξ), that is, a measure of the distance between ξ and rational numbers; the sequence of convergents is the best possible in this direction. We introduce in this article a new way to measure the irrationality of ξ by means of a number ν(ξ), the density exponent, which takes into account not only the size of u_nξ−v_n but also the regularity of the sequence (u_n)_n. In particular, ν(ξ)<+∞ implies that μ(ξ)<+∞. Amongst other things, we show that ν(ξ)=0 almost surely, that ν(ξ)=0 for all quadratic numbers ξ and ν(ξ)<+∞ for all real algebraic numbers with at least one other real conjugate. We provide upper bounds for the density exponent of periods like log(2), π, and ζ(3). We also mention a number of open questions, for example, what is the value of ν(e)?