Sur les temps d'occupations des processus de markov finis inhomogènes à basse température

Abstract

Summary:For a family of generalised annealing algorithms associated to a fixed cost function on an irreducible finite graph and whose evolutions of temperature get in some sense, smaller and smaller, we study the subsets for which an inhomogeneous strong law of large numbers before the exit time is satisfied. Thus by an application of semi-group methods and calculus of compensators, we find the cycles and their associated decompositions that Hwang and Sheu have introduced in this context by another method. By using them we give, for arbitrary subsets. results of weak convergence for the joint law of the exit position and the renormalisation of exit time and of the occupation times o( one of its points, as the (inhomogeneous) evolutions of temperatures tend to vanish. Then we deduce from them limit theorems satisfied in large time by the renormalised processes of occupation times of any recurrent points for critical (relatively to the ergodicity in law) generalised annealing algorithms. It appears that in general, "few" points verify a law of large numbers (in particular it is not satisfied by the points of minimal virtual energy), but instead we get weak convergence towards a non deterministic process which can be represented by means of simple functionals of a stationary Markov process indexed by (depending on the points, the limit process is either continuous, in which case the convergence is weak for the local uniform topology, or purely of jumps, and then we have only weak convergence of the finite marginals) Résumé: Pour une famille d'algorithmes de recuit généralisés associés à une meme fonction de coût sur un graphe fmi irreductible et dont les évolutions de la température sont d'une certaine manière de plus en plus basses, on s'intéresse aux sous-ensembles pour lesquels est satisfaite en chacun de ses points une loi forte des grands nombres (inhomogène) avant sortie. On retrouve ainsi par le biais d'une méthode de semi-groupes et de calculs de compensateurs appliqués à l'évaluation de temps d'occupations, les cycles et les décompositions associées qui ont été introduits dans ce contexte par Hwang et Sheu. Celles-ci nous permettent d'obtenir pour des ensembles quelconques, des résultats de convergence en loi pour des renormalisations des temps de sortie et des temps d'occupations de points avant sortie, ainsi que de la position de sortie, à basse température (inhomogène). On en déduit ensuite, pour des algorithmes de recuit généralisés critiques (relativement à l'ergodicité en loi), les théorèmes limites véritiés en temps grand par les processus renormalisés de temps d'occupations de points récurrents. II apparaît en général que pour ceux-ci les lois des grands nombres ne sont satisfaites que par “peu” de points (et notamment pas par ceux d'énergie virtuelle minimum), mais que l'on obtient á la place une convergence en loi vers un processus non déterministic qui peut se représenter àpartir fontionnelles simples d'un certain processus de Markov stationnaire indexépar (suivant les points, le processus limite est, soit continu, auquel cas la convergence est étroite pour la topologie uniforme locate,soit uniquement de sauts et on considère alors la convergence étroite des marginales finies)