A Two–Parameter Model of Snow–Avalanche Motion

Abstract

Voellmy’s (1955) method for computing the run-out distance of a snow avalanche includes an unsatisfactory feature: the a priori selection of a midslope reference where the avalanche is assumed to begin decelerating from a computed steady velocity. There is no objective criterion for selecting this reference, and yet the choice critically determines the computed stopping position of the avalanche. As an alternative, a differential equation is derived in this paper on the premise that the only logical reference is the starting position of the avalanche. The equation is solved numerically for paths of complex geometry. Solutions are based on two parameters: a coefficient of friction μ; and a ratio of avalanche mass–to–drag, M⁄D. These are analogous to the two parameters in Voellmy’s model, μ and ξH. Velocity and run-out distance data are needed to estimate μ and M⁄D to useful precision. The mathematical properties of two–parameter models are explored, and it is shown that some difficulties arise since similar results are predicted by dissimilar pairs of μ and M⁄D. Résumé La méthode de Voellmy (1955) pour calculer la distance d’arrêt d’une avalanche de neige comporte un élément peu satisfaisant: le choix a priori d’un point à mi–pente où l’on admet que l’avalanche commence à ralentir à partir d’une vitesse constante calculée. Il n’y a pas de critére objectif pour faire ce choix, alors que ce choix commande le point calculé d’arrêt de l’avalanche. Pour y pourvoir, on établit dans cet article une équation différentielle qui ne se base que sur une hypothése logique concernant le point de déclenchement de l’avalanche. L ’équation est résolue numériquement pour des couloirs de géométries complexes. Les solutions s’appuient sur–deux paramétres: un coefficient de friction μ et un rapport masse–à–résistance (mass to drag) M⁄D. Ceux–ci sont analogues aux deux paramétres μ et ξH du modéle de Voellmy. Il faut avoir comme données vitesses et distance d ’arrêt pour estimer μ et M⁄D avec une précision convenable. On explore les propriétés mathématiques des modèles à deux paramètres et l’on montre qu’il peut y avoir quelques difficultés du fait que des résultats semblables peuvent être prévus à partir de paires dissemblables de valeur pour μ et M⁄D. Zusammenfassung Voellmys (1955) Methode zur Berechnung der Reichweite einer Schneelawine enthält einen unbefriedigenden Punkt, nämlich die a priori–Festsetzung einer Stelle in Hangmitte, wo eine Verzögerung der Lawine aus ihrer berechneten gleichförmigen Bewegung einsetzt. Es gibt kein objektives Kriterium für die Wahl dieser Stelle, die von kntischem Einfluss auf die Berechnung der Reichweite der Lawine ist. Als Alternative wird in dieser Arbeit eine Differentialgleichung hergeleitet, beruhend auf der Annahme, dass der einzige logische Bezugs–punkt die Abrissposition der Lawine ist. Die Gleichung wird numerisch für geometrisch komplizierte Bahnen gelöst. Die Lösungen stützen sich auf zwei Parameter: einen Reibungskoeffizient μ und ein Verhältnis von Masse zu Hemmung M⁄D der Lawine. Dies sind analoge Grössen zu den zwei Parametern μ und ξH in Voellmys Modell. Werte für die Geschwindigkeit und die Reichweite werden für die Abschätzung von μ und M⁄D mit ausreichender Genauigkeit benötigt. Die mathematischen Eigetischaften der zweiparametrigen Modelle werden untersucht; es zeigt sich, dass gewisse Schwierigkeiten auftreten, da ähnliche Ergebnisse aus verschiedenen Paaren von μ und M⁄D hervorgehen.